CoDeFi, un nouvel algorithme pour la mesure de risque

L’article mathématique contenu dans ce blog présente un nouvel algorithme (CoDeFi) pour aborder la malédiction dimensionnelle en mathématiques financière, qui permet de considérer une large classe d’équations aux dérivées partielles (EDP), incluant les équations de Kolmogorov, comme par exemple les équations de Black et Scholes. La principale caractéristique de notre méthode est de permettre la résolution des équations de Kolmogorov en dimension haute, et fournit ainsi un environnement très général pour la mesure des risques. Pour les applications en Finance, le nombre de dimensions correspond au nombre de sources de risques.

La malédiction dimensionnelle (CoD – le terme provient d’un article de 1957 de R.E. Bellman) décrit des temps de calcul augmentant exponentiellement avec le nombre de sources de risques, et nous proposons dans cet article une solution à ce problème ouvert depuis longtemps. Notre approche est basée sur une combinaison de techniques provenant de la théorie des équations aux dérivées partielles : des trajectoires Monte-Carlo, une méthode numérique classique qui n’est pas « maudite » (non affectée par CoD), sont utilisées comme des grilles de calcul mouvantes. Ces grilles permettent de résoudre les équations de Kolmogorov, en utilisant des techniques de maillage non structuré conjointement avec la théorie du transport optimal, pour passer outre la malédiction. Nous utilisons également des techniques de calibration zéro-erreur, pour une prise en compte parfaite des instruments de réplication ou les besoins de modélisation financière complexe. Toutes ces techniques sont regroupées dans un environnement de calcul que nous appelons CoDeFi. CoDeFi peut être vu comme un environnement de mesure de risque très général, implémentant l’algorithmie présentée dans [4],[3].

Cet article présente ces technologies et propose un premier benchmark pour le cas multidimensionnel, en le complétant jusqu’à la 64 eme dimension (ou 64 sources de risque). A notre connaissance, peu d’autres technologies pourraient compléter ce test. La quantication optimale [1] ou l’analyse par ondelette [9] pourraient être utilisés jusqu’à disons 10 dimensions. Au delà, les techniques type Monte-Carlo américain [7] pourraient peut-être fournir des bornes inférieures, ces méthodes etant connues pour fournir des exercices sub-optimaux. Nous concluons en notant que ce même environnement de calcul est utilisé pour des simulations dans le cadre de problèmes hyperboliques non-linéaires [6].

Notre sentiment est que cette technologie peut déjà être utilisée dans la mesure de risque complexe. Il existe de nombreuses applications liées à la malédiction dimensionnelle. Nous en avons identifiées quelques unes dans l’assurance, et la plupart dans le secteur de la finance. Au delà de l’évaluation et de la couverture, permettant d’émettre de nouveaux produits, mieux adaptés aux besoins des clients, ou d’arbitrage de marché, cet environnement s’adresse à la mesure des risques. En effet, les tests réalisés dans ce papier montrent que CoDeFi pourrait calculer précisément, sur un laptop, une VAR (Value At Risk) ou une CVA (Credit Value Adjustment), indicateurs qui sont calculés aujourd’hui sur des fermes de calcul de milliers de processeurs avec des méthodes d’approximation. Pour finir, cet environnement pourrait être utile dans la mesure de risque systémique, qui peut-être modélisé efficacement par des équations de Kolmogorov. Cela pourrait être notamment utile pour développer des outils de supervision des crises économiques.